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Fecha lìmite de entrega de la actividad: 7/09/2018 a las 15:00 hrs.
Profra. Ma. Eugenia Gonzàlez Sandoval
domingo, 19 de agosto de 2018
ACTIVIDAD 3. PRODUCTO DE VECTORES
Explica y ejemplifica los siguientes productos de vectores: Producto de un escalar por un vector. Producto escalar y vectorial de vectores.
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Profra. Ma. Eugenia Gonzàlez Sandoval
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Profra. Ma. Eugenia Gonzàlez Sandoval
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El producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
ResponderBorrarMatemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
V = (x, y)
k V = k (x, y) = (kx, ky)
Ejemplo:
V = (2,1)
k = 2
k V = 2 (2, 1) = (4, 2)
El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
A · B = a1b1 + a2b2 + a3b3
Ejemplo:
Si A1 y A2 son vectores de R2 con componentes A1 =(−1, 2) y
A2 =(2,−9),entonces el producto escalar entre ellos es:
A1 · A2 = (−1)2 + 2(−9) = −20
Se llama producto vectorial o producto cruz de vectores a y b el vector c, cuya longitud numéricamente equivale al área del paralelogramo constuido en vectores a y b, perpendicular al plano de estos vectores y dirigido de tal manera que la revolución mínima del a hacia b en torno al vector c se haga de la derecha a la izquierda, si verlo del final del vector c.
Sean los vectores a= (4, 0, 0) y b= (2, 2, 0) calcular el producto vectorial si entre ellos forman un ángulo de 45º.
Calculamos el módulo de :a |a| = √(ax2 + ay2 + az2) = √(42 + 02 + 02) = √16 = 4
Calculamos el módulo de : b|b| = √(bx2 +by2 + bz2) = √(22 + 22 + 02) = √22 (1 + 1) = 2√2
Seno de 45º = √2 / 2
Vector unitario n = (0, 0, 1)
Por lo tanto, a x b = (|a| · |b| · sen α) · n = 4 · 2√2 · √2 / 2 · n = 4 · 2 · n = 8 n = (0, 0, 8)
RAMIREZ RAMIREZ LIZETH
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ResponderBorrarPRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
ResponderBorrarAl multiplicar un vector a→ por un escalar (número) λ, obtenemos un nuevo vector b→ = λ⋅ a→ que tiene las siguientes características:
La dirección de a→ y b→ son la misma
Si λ es:
positivo. a→ y b→ tendrán el mismo sentido
negativo. a→ y b→ tendrán distinto sentido.
El módulo de b→ será el valor absoluto de sumar n veces el módulo de a→ o lo que es lo mismo ∣∣∣b→∣∣∣ = |λ| ⋅ ∣∣a→∣∣
De esto se desprende una ecuación muy interesante. Cualquier vector puede expresarse como un producto de un escalar y otro vector.
a→ = ∣∣a→∣∣⋅ua−→= a ⋅ ua−→
Representación analítica
El producto de un vector a→ por un escalar λ, nos da como resultado otro vector cuyas componentes son el producto escalar de λ por cada una de las componentes del vector a→.
λ ⋅ a→ =(λ ⋅ ax) ⋅ i→ + (λ ⋅ ay) ⋅ j→
EJEMPLO:
Dado el vector
a→=3⋅i→+ 4⋅j→
a) Calcula 2⋅a→
b) Calcula el vector unitario de a→ , u→a
∣∣a→∣∣ = ∣∣32+42−−−−−−√∣∣=∣∣25−−√∣∣ = 5
A continuación, teniendo en cuenta la definición de vector unitario
ua−→= (axa) ux−→+(aya) ⋅ uy→
Sustituimos los valores que ya conocemos
ua−→= (35) i→+(45) ⋅ j→
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar de un vector a→ y otro b→, denotado como a→ ⋅ b→ devuelve un número (escalar) tal que,
a→ ⋅ b→= ∣∣a→∣∣ ⋅ ∣∣∣b→∣∣∣ ⋅ cos(α)
donde α es el ángulo que forman los vectores a→ y b→.
El cálculo del producto escalar de estos dos vectores se simplifica cuando estos son perpendiculares o paralelos entre si:
Si son perpediculares, el ángulo forma 90º y el producto es 0
Si son paralelos, tenemos dos posibilidades:
Si tienen el mismo sentido, el producto escalar es la multiplicación de sus módulos
Si NO tiene el mismo sentido, el producto escalar es la multiplicación de sus módulos añadiéndole el signo negativo.
1) Si a→ y b→ son perpendiculares,(α= 90°) =
a→ . b→ = a . b . Cos(90°)= 0
2) Si a→ y b→ son paralelos y con el mismo sentido (α= 0°) =
a→ y b→ = a. b . Cos (0°) = 1 ó a . b
3) Si a→ y b→ son paralelos y con el distinto sentido (α= 180°) =
a→ . b→ = a . b . Cos (180°) = -1 ó -a . b
Representación Analítica del Producto Escalar
El producto escalar de dos vectores a→ y b→ devuelve un escalar que se obtiene como la suma de las multiplicaciones una a una de las componentes cartesianas de los 2 vectores a→ y b→. En el caso de vectores en dos dimensiones, podemos usar la expresión:
a→⋅b→ = (ax⋅bx) + (ay⋅by)
EJEMPLO:
Dados los vectores:
a→= −i→ + 3⋅j→
b→= 2⋅i→ − 2⋅j→
c→= − 4⋅i→ − j→
Calcular:
a)a→⋅b→
b)b→⋅c→
a→⋅b→ = (ax⋅bx) + (ay⋅by)
A) a→⋅b→ = (−1⋅2) + (3⋅(−2)) ⇒
a→⋅b→ = −2−6 ⇒
a→⋅b→ = −8 //
B) b→⋅c→ = (2⋅(−4)) + ((−2)⋅(−1)) ⇒
b→⋅c→ = −8+2 ⇒
b→⋅c→ = −6 //
PRODUCTO VECTORIAL
Llamamos producto vectorial, a la operación que asocia a cada par de vectores
A→, B→ del espacio, al vector A→ × B→ que cumple las condiciones:
1. Dirección: Si A→ y B→ son no nulos y no colineales, A→ × B→ es ortogonal con A→ y
con B→.
2. Sentido: El primer vector A→ gira para que,
describiendo el ángulo θ, quede paralelo al segundo vector B→ . Entonces A→ × B→
tiene el sentido de avance de un tornillo.
3. El módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al producto de los
módulos por el seno del ángulo que estos hacen:
|A→ × B→ | = |A→||B→| sen θ
Observaciones:
1. A→ × B→ y B→ × A→ tienen direcciones opuestas pero el mismo módulo.
A→ × B→ = − (B→ × A→) (se dice que el producto vector es anticonmutativo)
2. Si A→ y B→ son colineales A→ × B→ = 0.
3. El módulo de A→ × B→ representa el área del paralelogramo, que tiene a los vectores
A→ y B→ como lados concurrentes.
Area = base . altura = |A→||B→ | sen θ = |A→ × B→ |
| sen θ
4. λA→ × B→ = A→ × λB→ = λ(A→ × B→ ).
5. A→ × (B→ + C→ ) = A→ × B→ + A→ x C→
Ejemplo 1. Calcular producto vectorial de los vectores a = {1; 2; 3} y b = {2; 1; -2}.
a × b = i j k
1 2 3 =
2 1 -2
= i(2 · (-2) - 3 · 1) - j(1 · (-2) - 2 · 3) + k(1 · 1 - 2 · 2) = {-7; 8; -3}
Cardona Espinosa Grisel
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR
ResponderBorrarVe un vector por un escalar da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original. Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
V=(x,y)
kV=k(x,y)=(kx,ky)
Ejemplo:
V=(2,2)
k=-1
kV=-1(2,2)=(-2,-2)
Los vectores pueden multiplicarse de dos formas diferentes: el producto escalar y el producto vectorial.
El producto escalar
Es una operación donde al multiplicar dos vectores se obtiene un escalar.
A · B = a1b1 + a2b2 + a3b3
Ejemplo
Si A 1 y A 2 son vectores de R2 con componentes
A 1 = (−1, 2) y A~ 2 = (2, −9), entonces el producto escalar entre ellos es:
A~ 1 · A~ 2 = (−1)2 + 2(−9) = −20
El producto vectorial
Es una operación donde al multiplicar dos vectores se obtiene otro vector, con la característica de ser perpendicular a ambos. Este producto sólo está definido para vectores en un espacio de tres dimensiones.
U =(ux,uy,uz)
V =(vx,vy,vz)
(U)×(V) ∥=UVsenθ
θ= ángulo entre los vectores
Ejemplo
Considera los vectores: U =(3,2,−1), V =(−2,4,0), encuentra su producto vectorial.
=iˆ[(2)(0)−(4)(−1)]−jˆ[(3)(0)−(−2)(−1)]+kˆ[(3)(4)−(−2)(2)]
=4iˆ+2jˆ+16kˆ
=(4,2,16)
Gomez Solis Ángel
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
ResponderBorrarMultiplicar un vector por un número m equivale a alargar (o encoger) su módulo tantas veces como indica el valor absoluto de m, e invertir su sentido si m es negativo. El número m por el que se multiplica un vector recibe el nombre de escalar.Este siempre se encontrara en la misma dirección que el primer vector.
Ejemplo:
Vector multiplicado por positivo mayor que 1
El vector aumenta de módulo las veces que señala el escalar, y su dirección nunca cambia.
Por ejemplo, tenemos el vector A = (3, –2) y lo multiplicamos por 2:
Modo algebraico:
A = (3, –2) • 2 = A (6, –4)
PRODUCTO ESCALAR POR DOS VECTORES
Sean A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz); el producto escalar (denominado también producto punto o producto interno) de dos vectores se define como:
A ∙ B = |A| |B| cosθ
Donde θ es el ángulo entre ambos vectores. También, se puede expresar como:
A · B = AxBx + AyBy + AzBz
El producto escalar siempre es un número real, es conmutativo y distributivo, de él surge el teorema del coseno. Además, cuando el producto escalar de dos vectores A y B es nulo (cero) significa que son perpendiculares entre sí.
Ejemplo:
Calcular el producto escalar de los vectores a = {1; 2; -5} y b = {4; 8; 1}.
Solución
a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15
PRODUCTO VECTORIAL POR DOS VECTORES
Llamamos producto vectorial, a la operacion de multiplicar que asocia a cada par de vectores A, ~ B~ del espacio, al vector A~ × B~ que cumple las condiciones:
1. Direccion: Si A~ y B~ son no nulos y no colineales, A~ × B~ es ortogonal con A~ y
con B~ .
2. Sentido: se define como muestra la figura. El primer vector A~ gira para que,
describiendo el ´angulo θ, quede paralelo al segundo vector B~ . Entonces A~ × B~
tiene el sentido de avance de un tornillo.
3. El modulo del producto vectorial de dos vectores es igual al producto de los modulos por el seno del angulo que estos hacen:
|A~ × B~| = |A~||B~| sen θ
EJEMPLO:
1) Hallar un vector perpendicular con A~ = (−1, 3, 4) y B~ = (8, 1, −2).
Un vector P~ , que es perpendicular con los vectores A~ y B~ es el que se obtiene calculando
el producto vectorial entre ellos.
P~ = A~ × B~ =
~i -~j ~k
−1 3 4
8 1 2
(6-4)i-(-2-32)j+(-1-24)k
= 2i + 34j + 25k
(2,34,25)
Mayen Aguilera Johan Andres
PRODUCTO ESCALAR POR UN VECTOR
ResponderBorrarModificando el vector y el escalar podemos observar el vector que se obtiene al multiplicar el escalar por el vector. Se pueden ver las coordenadas de los vectores activando la casilla de verificación. Observamos que el vector obtenido siempre tiene la misma dirección que el vector dado, al multiplicarlo por un número podemos modificar el módulo y el sentido, pero no la dirección del vector.
PRODUCTO VECTORIAL Y PRODUCTO ESCALAR
El producto vectorial es una multiplicación entre vectores que da como resultado otro vector ortogonal a ambos. Dado que el resultado es otro vector, se define a su modulo, dirección y sentido. La dirección es sobre la recta ortogonal a ambos vectores es decir que forman 90 grados con los mismos.
El producto escalar es una multiplicación entre vectores que da como resultado un escalar. Para vectores expresados en coordenadas cartesianas el producto escalar se realiza multiplicando cada coordenada por la misma coordenada en el otro vector y luego sumando los resultados.
TAVARES MONDRAGON ALONSO EMILIO.
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ResponderBorrarProducto de un escalar por un vector.
ResponderBorrarEs aquel en donde se multiplica un vector por un escalar (número y unidad de medida), en donde el resultado siempre te va a dar otro vector, con la misma dirección que el primer vector.
Ejemplo:
V= 60 N VECTOR
K=2 ESCALAR
K•V=2 (60 N)=120 N El nuevo vector se encuentra en la misma dirección, aunque en diferente magnitud.
Producto escalar.
Es una operación en donde se multiplican dos vectores por el coseno del angulo que forman y el resultado sera un escalar.
Ejemplo:
u=(3,0) v=(5,5) uv=45°
u·v=√3^2+0^2 · √5^2+5^2 · cos 45°
=3·5·√2·√2/2=2
Producto Vectorial.
Multiplicación cruzada de los vectores propuestos (se puede hacer en una tabla y visto previamente en algebra) y después se suman los vectores.
Ejemplo:
Vector A=(-4-15) Resultado producto cruzado
B=(-10-6) "
C=(25-4) "
Se realiza la suma respectiva
=(-4-15)+(-10-6)+(25-4)
=-19-16+21
=√(-19)^2+(-16)^2+(21)^2
=32.5
Zarate Bernal César Alejandro
Producto de un escalar por un vector:
ResponderBorrarda por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
ejemplo
v=(3,6)
k=3
k*v=3(3,6)= respuesta (9,18)
producto escalar :
El producto escalar es una multiplicación entre dos vectores que da como resultado un escalar.
ejemplo:
v1= (x1,y1,z1)
v2=(x2,y2,z2)
v1.v2=x1*x2+y1*y2+z1*z2
v1*v2=(v1)*(v2)*cos(θ)
v1=(8,10,6)
v2=(5,7,6)
v1*v2=(8)*(5)+(10)*(7)+(6)*(6)
v1*v2=40+70+36
v1*v2=(54)*(16)*(cos 90)
=-401.47
producto vectorial de vectores:
Multiplicación cruzada de los vectores propuestos
ejemplos:
x=(10+13)
y=(13+15)
z=(9+5)
=(10+13)+(13+15)+(9+5)
=23+28+14
=√(23)(23) +(28)(28)+(14)(14)
=38.84
Camacho Mendoza Alejandro 3im17
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrarPRODUCTO ESCALAR POR UN VECTOR
ResponderBorrarEl producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.
Ejemplo:
V= 90 N VECTOR
K=3 ESCALAR
K•V=3 (90 N)=270 N
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
V = (x, y)
k V = k (x, y) = (kx, ky)
Ejemplo:
V = (5,8)
k = 2
k V = 2 (5, 8) = (10, 16)
PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar es una multiplicación entre dos vectores que da como resultado un escalar.
Para vectores expresados en coordenadas cartesianas el producto escalar se realiza multiplicando cada coordenada por la misma coordenada en el otro vector y luego sumando los resultados.
Ejemplo
Datos
a→⋅b→=a⋅b⋅cos (α) =
9.00 • 7.00 • cos(45.00) = 44.55
Datos
a⋅cos (α) = 6.36
b = 7.00
a→⋅b→ = 44.5
PRODUCTO VECTORIAL
Se llama producto vectorial o producto cruz de vectores a y b el vector a.b . Cuya longitud equivale al área del paralelogramo constuído en vectores a y b.
• Vector a→=3⋅i→+2⋅j→=(3,2)
• Vector b→=2⋅i→−j→=(2,−1)
Consideraciones previas
• Observa que los vectores se encuentran en el mismo plano (z = 0). Es decir az = bz = 0
Resolución
Utilizando la expresión de un determinante 3 x 3, nos queda:
a→×b→= i→ j→ k→ =−3⋅k→−4⋅k→=−7⋅k→
3 2 0
2 −1 0
PEREZ BADILLO IRVIN TOANTIUH
<< Producto de un escalar por un vector. >>
ResponderBorrarMultiplicar un vector por un número m equivale a alargar (o encoger) su módulo tantas veces como indica el valor absoluto de m, e invertir su sentido si m es negativo. El número m por el que se multiplica un vector recibe el nombre de escalar.
Propiedades de la mutiplicación de un vector por un número
Asociativa
k=escalar
u=vector
k · (k' · u ) = (k · k') ·
Distributiva I
k · ( u + v ) = k · + k ·
Distributiva II
(k + k') · u = k · + k' ·
Elemento neutro
1 · u =
<< producto escalar y vectorial de vectores >>
Llamamos producto vectorial, a la operaci´on que asocia a cada par de vectores
A, ~ B~ del espacio, al vector A~ × B~ que cumple las condiciones:
1. Direcci´on: Si A~ y B~ son no nulos y no colineales, A~ × B~ es ortogonal con A~ y
con B~ .
2. Sentido: se define como muestra la figura. El primer vector A~ gira para que,
describiendo el ´angulo θ, quede paralelo al segundo vector B~ . Entonces A~ × B~
tiene el sentido de avance de un tornillo.
3. El m´odulo del producto vectorial de dos vectores es igual al producto de los
m´odulos por el seno del ´angulo que estos hacen:
|A~ × B~ | = |A~||B~ | sen θ
GAXIOLA SALAMANCA SAMUEL FERNANDO
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.
ResponderBorrarEl producto de un escalar por un vector es el resultado de otro vector, con la misma dirección que el primer vector. Al llevar a cabo una multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector.La dirección del vector resultado es siempre igual que la del vector original.
Su fórmula para un vector con dos coordenadas es:
V=(X,Y)
k.V= k.(x,y)= (k.x , k.y)
Ejemplo:
V= (26,45)
k= 2
k.V= 2.(26,45)= (52,90)
PRODUCTO ESCALAR:
Dados dos vectores libres, a y b, se llama producto
escalar de ambos, módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:
ab = √a.√b cos (a, b).
a=(4,6) b=(7,9) ab=67°
a.b= √4^2 6^2 .√7^2 9^2 .cos 67°= 33.12
√
PRODUCTO VECTORIAL:
Dados dos vectores con tres componentes, podemos definir una nueva operación: el producto vectorial. El producto vectorial entre dos vectores x1 y x2 es otro vector x3.
Su base es así: X = (x1,x2,x3) Y = (y1,y2,y3)
Un ejemplo ya aplicado sería:
X = (1, 2, 3), Y = (3, 2, 1)
X ∧ Y = e1 e2 e3
1 2 3
3 2 1 = (−4, 8, −4).
Alumno: Franco Ortíz Carlos Enrique
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR
ResponderBorrarEl producto de un escalar por un vector o producto ve un vector por un escalar da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
V = (x, y)
k V = k (x, y) = (kx, ky)
Ejemplo:
V = (2,1)
k = 5
k V = 5(2, 1) = (10,5)
Ejemplo:
V= (2, 2)
k = -7
k V = -7(2, 2) = (-14, -14)
El producto escalar es una operación donde al multiplicar dos vectores se obtiene un escalar.
A⃗ =(ax,ay),B⃗ =(Bx,By)
A⃗ ⋅B⃗ =AxBx+AyBy
También:
A⃗ ⋅B⃗ =ABcosθ
θ=ángulo entre los vectores.
Observa que cuando los vectores son perpendiculares, el ángulo entre ellos es de 90°, su producto escalar es cero.
El producto vectorial es una operación donde al multiplicar dos vectores se obtiene otro vector, con la característica de ser perpendicular a ambos. Este producto sólo está definido para vectores en un espacio de tres dimensiones.
U⃗ =(ux,uy,uz)
V⃗ =(vx,vy,vz)
∥U⃗ ×V⃗ ∥=UVsenθ
θ= ángulo entre los vectores.
En coordenadas cartesianas, el producto vectorial se define como:
U⃗ ×V⃗ =∣∣∣∣∣iˆuxvxjˆuyvykˆuzvz∣∣∣∣∣=(uyvz−vyuz)i^−(uxvz−vxuz)j^+(uxvy−vxuy)k^
Observación: una aplicación del producto vectorial es que su magnitud numéricamente igual al área del paralelogramo definido por los vectores (observa el área sombreada en la animación).
Ejemplo
Considera los vectores: U⃗ =(3,2,−1), V⃗ =(−2,4,0), encuentra su producto vectorial.
U⃗ ×V⃗ =∣∣∣∣∣iˆ3−2jˆ24kˆ−10∣∣∣∣∣
=iˆ[(2)(0)−(4)(−1)]−jˆ[(3)(0)−(−2)(−1)]+kˆ[(3)(4)−(−2)(2)]=4iˆ+2jˆ+16kˆ=(4,2,16)
Dávila Sánchez Guadalupe Alejandra
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR
ResponderBorrarEl producto de un escalar por un vector o producto ve un vector por un escalar da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
V = (x, y)
k V = k (x, y) = (kx, ky)
Ejemplo:
V = (2,1)
k = 5
k V = 5(2, 1) = (10,5)
Ejemplo:
V= (2, 2)
k = -7
k V = -7(2, 2) = (-14, -14)
El producto escalar es una operación donde al multiplicar dos vectores se obtiene un escalar.
A⃗ =(ax,ay),B⃗ =(Bx,By)
A⃗ ⋅B⃗ =AxBx+AyBy
También:
A⃗ ⋅B⃗ =ABcosθ
θ=ángulo entre los vectores.
Observa que cuando los vectores son perpendiculares, el ángulo entre ellos es de 90°, su producto escalar es cero.
El producto vectorial es una operación donde al multiplicar dos vectores se obtiene otro vector, con la característica de ser perpendicular a ambos. Este producto sólo está definido para vectores en un espacio de tres dimensiones.
U⃗ =(ux,uy,uz)
V⃗ =(vx,vy,vz)
∥U⃗ ×V⃗ ∥=UVsenθ
θ= ángulo entre los vectores.
En coordenadas cartesianas, el producto vectorial se define como:
U⃗ ×V⃗ =∣∣∣∣∣iˆuxvxjˆuyvykˆuzvz∣∣∣∣∣=(uyvz−vyuz)i^−(uxvz−vxuz)j^+(uxvy−vxuy)k^
Observación: una aplicación del producto vectorial es que su magnitud numéricamente igual al área del paralelogramo definido por los vectores (observa el área sombreada en la animación).
Ejemplo
Considera los vectores: U⃗ =(3,2,−1), V⃗ =(−2,4,0), encuentra su producto vectorial.
U⃗ ×V⃗ =∣∣∣∣∣iˆ3−2jˆ24kˆ−10∣∣∣∣∣
=iˆ[(2)(0)−(4)(−1)]−jˆ[(3)(0)−(−2)(−1)]+kˆ[(3)(4)−(−2)(2)]=4iˆ+2jˆ+16kˆ=(4,2,16)
Dávila Sánchez Guadalupe Alejandra
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR:
ResponderBorrarEl producto de un vector "a" por un escalar"k" es un vector que se escribe "ka". Tiene la misma direccion de "a" con una magnitud de k(a) si la escalar "k" es mayor a cero, si es el caso contrario, el vector tiene la direccion contraria de "a".
EJEMPLO: La velocidad del viento antes de un huracan llego a 20 mph desde el sureste. La velocidad se cuadriplico cuando llego el huracan. Cual es el vector de la nueva corriente del viento?
R= El viento ahora viaja a 80 mph en la misma direccion .
PRODUCTO ESCALAR: El producto escalar es una multiplicación entre dos vectores que da como resultado un escalar. Para vectores expresados en coordenadas cartesianas el producto escalar se realiza multiplicando cada coordenada por la misma coordenada en el otro vector y luego sumando los resultados.
V1=(X1,Y1,Z1)
V2=(X2,Y2,Z2)
V1.V2=X1.X2+Y1.Y2+Z1.Z2
PRODUCTO VECTORIAL: El producto vectorial de dos vectores "u" & "v" ,es el vector que se obtiene desarrollando el determinante.
El resultado del producto vectorial, es un vector perpendicular. Si los vectores "u" & "v"son paralelos (proporcionales), el producto vectorial es el vector nulo (0,0,0), y recíprocamente, si el producto vectorial es cero, es porque los vectores son paralelos.
SANCHEZ GRANADOS JAFET
El producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
ResponderBorrarMatemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
V= (X,Y)
K·V= k·(X,Y) = (K·X , K·Y)
PRODUCTO ESCALAR
Se le denomina producto escalar (o producto punto o producto interno) de dos vectores A y B a un escalar cuyo valor será igual al producto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo que ellos forman:
A ∙ B = |A| |B| cosθ
El producto escalar representa la proyección del vector A sobre el vector B y equivalentemente a la proyección de B sobre A (Figura I). Otra forma de expresar el producto escalar es:
A · B = AxBx + AyBy + AzBz
PROPIEDADES
El producto escalar de un vector consigo mismo, siempre es positivo:
ζA = A ∙ A = |A|2 ≥ 0
Y sólo será nulo si A es un vector nulo. Por lo tanto:
|A| = √( A ∙ A ) = √ ζA
El producto escalar es conmutativo:
A ∙ B = B ∙ A
Ya que el ángulo entre los vectores es el mismo y la multiplicación entre escalares es conmutativa.
El producto escalar es distributivo:
A ∙ (B + C) = A ∙ B + A ∙ C
La multiplicación por un escalar:
β ∙ (A ∙ B) = |β||A||B| cosθ
(βA) ∙ (βB) = |βA||B| cosθ = |A||βB|cosθ
Del producto escalar surge el Teorema del Coseno:
C = A + B
C · C = (A + B) · (A + B)
|C|2 = |A|2 + |B|2 + 2|A||B| cosθ
Que no es otra cosa que el teorema del coseno.
Teorema del coseno
Diremos que dos vectores, no nulos, son ortogonales (perpendiculares) si su producto escalar es nulo (cero):
A ⊥ B → θ = π/2 → A ∙ B = |A||B| cosθ = 0
Se llama producto vectorial o producto cruz de vectores a y b el vector c, cuya longitud númericamente equivale al área del paralelogramo constuido en vectores a y b, perpendicular al plano de estos vectores y dirigido de tal manera que la revolución mínima del a hacia b en torno al vector c se haga de la derecha a la izquierda, si verlo del final del vector c.
Producto vectorial v a = {x1; y1; z1} y b = {x2; y2; z2} ven el sistema cartesiano de coordenadas – es un vector, cuyo valor se puede calcular, utilizando las fórmulas siguientes:
a × b = i j k = i(y1z2 - z1y2) - j(x1z2 - z1x2) + k(x1y2 - y1x2)
x1 y1 z1
x2 y2 z2
или
a × b = {y1 z2 - z1 y2; z1 x2 - x1 z2; x1 y2 - y1 x2}
Propiedades del producto vectorial
Interpretación geométrica geométrico del producto vectorial. Módulo del producto vectorial de dos vectores a y b equivale al área del paralelogramo construído en estos vectores.
Producto vectorial de dos vectores que no son nulos a y b equivale a cero sólo cuando los vectores son colineales
Si el vector c equivale al producto vectorial de los vectores a y b, entonces es perpendicular a estos vectores.
a × b = -b × a
(k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
(a + b) × c = a × c + b × c
ORTIZ PEREZ SEBASTIAN
Producto Escalar de Vectores
ResponderBorrarRepresentación Gráfica del Producto Escalar
El producto escalar de un vector y otro , denotado como devuelve un número (escalar) tal que,
donde es el angulo que forman los vectores y .
El cálculo del producto escalar de estos dos vectores se simplifica cuando estos son perpendiculares o paralelos entre si:
Si son perpediculares, el ángulo forma 90º y el producto es 0
Si son paralelos, tenemos dos posibilidades:
Si tienen el mismo sentido, el producto escalar es la multiplicación de sus módulos
Si NO tiene el mismo sentido, el producto escalar es la multiplicación de sus módulos añadiéndole el signo negativo.
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
V = (x, y)
k V = k (x, y) = (kx, ky)
El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:
módulo del producto vectorial
Su fórmula para un vector con dos coordenadas es:
V=(X,Y)
k.V= k.(x,y)= (k.x , k.y)
Ejemplo:
V= (26,45)
k= 2
k.V= 2.(26,45)= (52,90)
Rosas Fuentes Jesus Manuel
3IM17
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
ResponderBorrarAl multiplicar un vector a→ por un escalar (número) λ, obtenemos un nuevo vector b→ = λ⋅ a→ que tiene las siguientes características:
La dirección de a→ y b→ son la misma
Si λ es:
positivo. a→ y b→ tendrán el mismo sentido
negativo. a→ y b→ tendrán distinto sentido.
El módulo de b→ será el valor absoluto de sumar n veces el módulo de a→ o lo que es lo mismo ∣∣∣b→∣∣∣ = |λ| ⋅ ∣∣a→∣∣
De esto se desprende una ecuación muy interesante. Cualquier vector puede expresarse como un producto de un escalar y otro vector.
a→ = ∣∣a→∣∣⋅ua−→= a ⋅ ua−→
Representación analítica
El producto de un vector a→ por un escalar λ, nos da como resultado otro vector cuyas componentes son el producto escalar de λ por cada una de las componentes del vector a→.
λ ⋅ a→ =(λ ⋅ ax) ⋅ i→ + (λ ⋅ ay) ⋅ j→
EJEMPLO:
Dado el vector
a→=3⋅i→+ 4⋅j→
a) Calcula 2⋅a→
b) Calcula el vector unitario de a→ , u→a
∣∣a→∣∣ = ∣∣32+42−−−−−−√∣∣=∣∣25−−√∣∣ = 5
A continuación, teniendo en cuenta la definición de vector unitario
ua−→= (axa) ux−→+(aya) ⋅ uy→
Sustituimos los valores que ya conocemos
ua−→= (35) i→+(45) ⋅ j→
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar de un vector a→ y otro b→, denotado como a→ ⋅ b→ devuelve un número (escalar) tal que,
a→ ⋅ b→= ∣∣a→∣∣ ⋅ ∣∣∣b→∣∣∣ ⋅ cos(α)
donde α es el ángulo que forman los vectores a→ y b→.
El cálculo del producto escalar de estos dos vectores se simplifica cuando estos son perpendiculares o paralelos entre si:
Si son perpediculares, el ángulo forma 90º y el producto es 0
Si son paralelos, tenemos dos posibilidades:
Si tienen el mismo sentido, el producto escalar es la multiplicación de sus módulos
Si NO tiene el mismo sentido, el producto escalar es la multiplicación de sus módulos añadiéndole el signo negativo.
1) Si a→ y b→ son perpendiculares,(α= 90°) =
a→ . b→ = a . b . Cos(90°)= 0
2) Si a→ y b→ son paralelos y con el mismo sentido (α= 0°) =
a→ y b→ = a. b . Cos (0°) = 1 ó a . b
3) Si a→ y b→ son paralelos y con el distinto sentido (α= 180°) =
a→ . b→ = a . b . Cos (180°) = -1 ó -a . b
Representación Analítica del Producto Escalar
El producto escalar de dos vectores a→ y b→ devuelve un escalar que se obtiene como la suma de las multiplicaciones una a una de las componentes cartesianas de los 2 vectores a→ y b→. En el caso de vectores en dos dimensiones, podemos usar la expresión:
a→⋅b→ = (ax⋅bx) + (ay⋅by)
EJEMPLO:
Dados los vectores:
a→= −i→ + 3⋅j→
b→= 2⋅i→ − 2⋅j→
c→= − 4⋅i→ − j→
Calcular:
a)a→⋅b→
b)b→⋅c→
a→⋅b→ = (ax⋅bx) + (ay⋅by)
A) a→⋅b→ = (−1⋅2) + (3⋅(−2)) ⇒
a→⋅b→ = −2−6 ⇒
a→⋅b→ = −8 //
B) b→⋅c→ = (2⋅(−4)) + ((−2)⋅(−1)) ⇒
b→⋅c→ = −8+2 ⇒
b→⋅c→ = −6 //
PRODUCTO VECTORIAL
Llamamos producto vectorial, a la operación que asocia a cada par de vectores
A→, B→ del espacio, al vector A→ × B→ que cumple las condiciones:
1. Dirección: Si A→ y B→ son no nulos y no colineales, A→ × B→ es ortogonal con A→ y
con B→.
2. Sentido: El primer vector A→ gira para que,
describiendo el ángulo θ, quede paralelo al segundo vector B→ . Entonces A→ × B→
tiene el sentido de avance de un tornillo.
3. El módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al producto de los
módulos por el seno del ángulo que estos hacen:
|A→ × B→ | = |A→||B→| sen θ
Observaciones:
1. A→ × B→ y B→ × A→ tienen direcciones opuestas pero el mismo módulo.
A→ × B→ = − (B→ × A→) (se dice que el producto vector es anticonmutativo)
2. Si A→ y B→ son colineales A→ × B→ = 0.
3. El módulo de A→ × B→ representa el área del paralelogramo, que tiene a los vectores
A→ y B→ como lados concurrentes.
Area = base . altura = |A→||B→ | sen θ = |A→ × B→ |
| sen θ
4. λA→ × B→ = A→ × λB→ = λ(A→ × B→ ).
5. A→ × (B→ + C→ ) = A→ × B→ + A→ x C→
Ejemplo 1. Calcular producto vectorial de los vectores a = {1; 2; 3} y b = {2; 1; -2}.
a × b = i j k
1 2 3 =
2 1 -2
= i(2 · (-2) - 3 · 1) - j(1 · (-2) - 2 · 3) + k(1 · 1 - 2 · 2) = {-7; 8; -3}
Parra Alanis Víctor
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
ResponderBorrarMultiplicar un vector por un número m equivale a alargar (o encoger) su módulo tantas veces como indica el valor absoluto de m, e invertir su sentido si m es negativo. El número m por el que se multiplica un vector recibe el nombre de escalar.
El producto escalar es una operación donde al multiplicar dos vectores se obtiene un escalar.
Sean u y v dos vectores, y sea θ en ángulo entre u y v, entonces el producto escalar entre u y v se define como el producto entre las normas de los vectores y el coseno del ángulo determinado entre ellos. En símbolos:
u•v=u vcosθ
Ejemplo:
Sean los vectores u = (1;1;0) y 0 = (0;0;0), y los versores i = (1;0;0) y k = (0;0;1), entonces:
u•0= u 0 cosθ =0, puestoque: 0 =0 u•i = 2.1.cos45°=1
i•i =1.1.cos0°=1
El producto vectorial es una operación donde al multiplicar dos vectores se obtiene otro vector, con la característica de ser perpendicular a ambos. Este producto sólo está definido para vectores en un espacio de tres dimensiones.
CARRASCO GARCÍA XIMENA
*Producto de un escalar por un vector.
ResponderBorrarEl producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero, solo debe hacerse una multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector y si es negativo cambia también el sentido. La dirección del vector que se da como resultado es siempre la misma que la del vector original.
**Ejemplo:
V= (4,2)
K= 4
KV=4(4,2)= (16,8)
*Producto escalar y vectorial de vectores.
El producto escalar es la multiplicación entre dos vectores que da como resultado un escalar.
**Ejemplo:
R 1= (A1,B1,C1)
R2=(A2,B2,C2)
R1R2=A1A2+B1B2+C1C2
Alumna: Barajas Tafoya Karen
PRODUCTO ESCALAR POR UN VECTOR
ResponderBorrarEl producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
V= (x,y)
k•V + k • (x, y) = (k•x, k•y)
Ejemplo:
V= (2,1)
k= 2
k• V = 2 • (2,1) = (4,2)
V= (2,2)
k= -1
k• V= 2• (2,1) = (4,2)
PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL DE VECTORES
Es una operación donde al multiplicar dos vectores se obtiene otro vector, con la característica de ser perpendicular a ambos. Este producto sólo está definido para vectores en un espacio de tres dimensiones.
U =(ux,uy,uz)
V =(vx,vy,vz)
(U)×(V) ∥=UVsenθ
θ= ángulo entre los vectores
Ejemplo
Considera los vectores: U =(3,2,−1), V =(−2,4,0), encuentra su producto vectorial.
=iˆ[(2)(0)−(4)(−1)]−jˆ[(3)(0)−(−2)(−1)]+kˆ[(3)(4)−(−2)(2)]
=4iˆ+2jˆ+16kˆ
=(4,2,16)
FERREIRA ESTRELLA XIMENA MICHELLE
Producto de un escalar por un vector
ResponderBorrarEl producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.
Ejemplo:
λ ⋅ a→=(λ ⋅ ax) ⋅ i→+ (λ ⋅ ay) ⋅ j→
donde λ = 2
2⋅a→=(2⋅3)⋅i→+ (2⋅4)⋅j→ ⇒
2⋅a→=6⋅i→+ 8⋅j→
Para calcular el vector unitario del vector a, en primer lugar calcularemos el módulo del vector
∣∣a→∣∣ = ∣∣32+42−−−−−−√∣∣=∣∣25−−√∣∣ = 5
A continuación, teniendo en cuenta la definición de vector unitario conocemos
ua−→= (35) ⋅ i→+(45) ⋅ j→
Productos escalar y vectorial de vectores
El producto escalar es una operación donde al multiplicar dos vectores se obtiene un escalar
Observa que cuando los vectores son perpendiculares, el ángulo entre ellos es de 90°, su producto escalar es cero.
El producto vectorial es una operación donde al multiplicar dos vectores se obtiene otro vector, con la característica de ser perpendicular a ambos. Este producto sólo está definido para vectores en un espacio de tres dimensiones.
Ejemplos:
dades del producto escalar, reducir a una mínima expresión:
a• (a + b) + a • (a − b)
Aplicando propiedad distributiva del producto escalar respecto de la suma de vectores:
a• (a + b) + a • (a − b) = a• a + a• b + a • a − a• b
Cancelando y aplicando propiedad del producto escalar de un vector por si mismo, resulta
que: ) a• (a + b) + a • (a − b = a• a + a • b + a • a − a• b = 2 2
a •a = 2 a
Por lo tanto: a• (a + b) + a • (a − b) = 2
2 a
ejemplos:
, cuyo valor se puede calcular, utilizando las fórmulas siguientes:
a × b = i j k = i(y1z2 - z1y2) - j(x1z2 - z1x2) + k(x1y2 - y1x2)
x1 y1 z1
x2 y2 z2
или
a × b = {y1 z2 - z1 y2; z1 x2 - x1 z2; x1 y2 - y1 x2}
Propiedades del producto vectorial
Interpretación geométrica geométrico del producto vectorial. Módulo del producto vectorial de dos vectores a y b equivale al área del paralelogramo construído en estos vectores.
Producto vectorial de dos vectores que no son nulos a y b equivale a cero sólo cuando los vectores son colineales
Si el vector c equivale al producto vectorial de los vectores a y b, entonces es perpendicular a estos vectores.
a × b = -b × a
(k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
(a + b) × c = a × c + b × c
alumna: Salinas Rangel CItlali Millarray
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR
ResponderBorrarEl producto de un escalar por un vector o producto ve un vector por un escalar da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
V = (x, y)
k V = k (x, y) = (kx, ky)
Ejemplo:
V = (4,1)
k = 4
k V = 4 (4, 1) = (8, 4)
EL PRODUCTO VECTORIAL
es una operación donde al multiplicar dos vectores se obtiene otro vector, con la característica de ser perpendicular a ambos. Este producto sólo está definido para vectores en un espacio de tres dimensiones.
θ= ángulo entre los vectores.
DIAZ CASTAEDA HARUMI YESENIA
"PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR"
ResponderBorrarEl producto de un escalar por un vector o producto ve un vector por un escalar da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
V = (x, y)
k V = k (x, y) = (kx, ky)
Ejemplo:
V = (2,1)
k = 2
k V = 2 (2, 1) = (4, 2)
Si los vectores son de más de dos coordenadas se realiza lo mismo por cada una de ellas.
Sean A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz); el producto escalar (denominado también producto punto o producto interno) de dos vectores se define como:
A ∙ B = |A| |B| cosθ
Donde θ es el ángulo entre ambos vectores. También, se puede expresar como:
A · B = AxBx + AyBy + AzBz
"Producto Escalar"
El producto escalar siempre es un número real, es conmutativo y distributivo, de él surge el teorema del coseno. Además, cuando el producto escalar de dos vectores A y B es nulo (cero) significa que son perpendiculares entre sí.
-DEFINICIÓN
Se le denomina producto escalar (o producto punto o producto interno) de dos vectores A y B a un escalar cuyo valor será igual al producto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo que ellos forman:
A ∙ B = |A| |B| cosθ
El producto escalar representa la proyección del vector A sobre el vector B y equivalentemente a la proyección de B sobre A (Figura I). Otra forma de expresar el producto escalar es:
A · B = AxBx + AyBy + AzBz
"Producto vectorial de Vectores"
Producto vectorial Se llama producto vectorial o producto cruz de vectores a y b el vector c, cuya longitud númericamente equivale al área del paralelogramo constuido en vectores a y b, perpendicular al plano de estos vectores y dirigido de tal manera que la revolución mínima del a hacia b en torno al vector c se haga de la derecha a la izquierda, si verlo del final del vector c.
Producto vectorial v a = {x1; y1; z1} y b = {x2; y2; z2} ven el sistema cartesiano de coordenadas – es un vector, cuyo valor se puede calcular, utilizando las fórmulas siguientes:
a × b = i j k = i(y1z2 - z1y2) - j(x1z2 - z1x2) + k(x1y2 - y1x2)
x1 y1 z1
x2 y2 z2
или
a × b = {y1 z2 - z1 y2; z1 x2 - x1 z2; x1 y2 - y1 x2}
Propiedades del producto vectorial
Interpretación geométrica geométrico del producto vectorial. Módulo del producto vectorial de dos vectores a y b equivale al área del paralelogramo construído en estos vectores.
Producto vectorial de dos vectores que no son nulos a y b equivale a cero sólo cuando los vectores son colineales
Si el vector c equivale al producto vectorial de los vectores a y b, entonces es perpendicular a estos vectores.
a × b = -b × a
(k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
(a + b) × c = a × c + b × c
Alfaro Mar´tnez Zaid
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR
ResponderBorrarEl producto de un escalar por un vector o producto ve un vector por un escalar da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
V = (x, y)
k V = k (x, y) = (kx, ky)
Ejemplo:
V = (2,1)
k = 2
k V = 2 (2, 1) = (4, 2)
Producto escalar
Se le denomina producto escalar (o producto punto o producto interno) de dos vectores A y B a un escalar cuyo valor será igual al producto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo que ellos forman:
A ∙ B = |A| |B| cosθ
El producto escalar representa la proyección del vector A sobre el vector B y equivalentemente a la proyección de B sobre A (Figura I). Otra forma de expresar el producto escalar es:
A · B = AxBx + AyBy + AzBz
Producto vectorial de vectores.
Producto vectorial Se llama producto vectorial o producto cruz de vectores a y b el vector c, cuya longitud númericamente equivale al área del paralelogramo constuido en vectores a y b, perpendicular al plano de estos vectores y dirigido de tal manera que la revolución mínima del a hacia b en torno al vector c se haga de la derecha a la izquierda, si verlo del final del vector c.
Producto vectorial v a = {x1; y1; z1} y b = {x2; y2; z2} ven el sistema cartesiano de coordenadas – es un vector, cuyo valor se puede calcular, utilizando las fórmulas siguientes:
a × b = i j k = i(y1z2 - z1y2) - j(x1z2 - z1x2) + k(x1y2 - y1x2)
x1 y1 z1
x2 y2 z2
или
a × b = {y1 z2 - z1 y2; z1 x2 - x1 z2; x1 y2 - y1 x2}
GARCES JUAREZ SOFIA DANIELA
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
ResponderBorrarEl producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
Al multiplicar un vector a→ por un escalar (número) λ, obtenemos un nuevo vector b→= λ⋅ a→ que tiene las siguientes características:
La dirección de a→ y b→ son la misma
Si λ es:
positivo. a→ y b→ tendrán el mismo sentido
negativo. a→ y b→ tendrán distinto sentido.
El módulo de b→ será el valor absoluto de sumar n veces el módulo de a→ o lo que es lo mismo |b→| = |λ| ⋅ |a→|
Ejemplo:
V=(2,2)
K= -1
k*V= -1(2,2)= (-2,-2)
→ α
√
PRODUCTO ESCALAR
l producto escalar de un vector a→ y otro b→, denotado como a→ ⋅ b→ devuelve un número (escalar) tal que,
a→ ⋅ b→= (a→) ⋅ (b→)⋅ cos(α)
donde α es el angulo que forman los vectores a→ y b→.
El cálculo del producto escalar de estos dos vectores se simplifica cuando estos son perpendiculares o paralelos entre si:
Si son perpediculares, el ángulo forma 90º y el producto es 0
Si son paralelos, tenemos dos posibilidades:
Si tienen el mismo sentido, el producto escalar es la multiplicación de sus módulos
Si NO tiene el mismo sentido, el producto escalar es la multiplicación de sus módulos añadiéndole el signo negativo.
Ejemplo:
Para calcular el producto escalar de los vectores u→ y v→ sabiendo que |u→ |=2 |v→ |=3 y cosα=30°
u→ . v→ = |u→ |.|v→ |cos30°--->u→ . v→ = 2*3*√3/2----> u→ . v→ = 3√3
PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES
Se llama producto vectorial o producto cruz de vectores a y b el vector a.b . Cuya longitud equivale al área del paralelogramo constuído en vectores a y b.
• Vector a→=3⋅i→+2⋅j→=(3,2)
• Vector b→=2⋅i→−j→=(2,−1)
Consideraciones previas
• Observa que los vectores se encuentran en el mismo plano (z = 0). Es decir az = bz = 0
Resolución
Utilizando la expresión de un determinante 3 x 3, nos queda:
a→×b→= i→ j→ k→ =−3⋅k→−4k→=−7⋅k→
JUÁREZ PADILLA ANA VALERIA
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR
ResponderBorrarEl producto de un escalar por un vector o producto ve un vector por un escalar da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.
EJEMPLO:
P=(-1,0), Q=(2,3)
(-2) PQ
Recta fija : Origen (-1/0) Extremo (-7,-6)
Analítica
PQ=OQ-OP= (2,3)-(-1.0)=(3,3)(
(-2) PQ= (3,3)
PQ= (3,3)(2)
PQ= (-6,-6)
Producto vectorial: La magnitud del producto vectorial de dos vectores es el resultado de multiplicar las magnitudes de cada vector y por el seno del ángulo que forman ambos vectores (< 180 grados) entre ellos. La magnitud del producto vectorial se representa de la forma:
• Vector a→=3⋅i→+2⋅j→=(3,2)
• Vector b→=2⋅i→−j→=(2,−1)
a→×b→=3⋅k→−4⋅k→=−7⋅k→
Producto escalar: Se le denomina producto escalar (o producto punto o producto interno) de dos vectores A y B a un escalar cuyo valor será igual al producto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo que ellos forman:
A ∙ B = |A| |B| cosθ
EJEMPLO: 1. Calcular el producto escalar de los vectores A = (2, 4, 5) y B = (- 2, 3, 7).
De la fórmula del producto escalar tenemos:
A • B = AxBx + AyBy + AzBz
Por lo tanto:
A • B = (2)(-2) + (4)(3) + (5)(7) =
= – 4 + 12 + 35 =
= 43
Suárez Hernández Isabel
El producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
ResponderBorrarMatemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
Producto de un escalar por un vector
Ejemplo:
Ejemplo
V=(2,2)
k= -1
(k)(v)= (-1)(2,2)= (-2,-2)
HERNANDEZ VILLA MICHELL GAEL
3IM17
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR
ResponderBorrarEl producto de un escalar por un vector o producto ve un vector por un escalar da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
V = (x, y)
k V = k (x, y) = (kx, ky)
Ejemplo:
V = (2,1)
k = 2
k V = 2 (2, 1) = (4, 2)
PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL.
A diferencia de los escalares, los vectores pueden multiplicarse de dos formas diferentes: el producto escalar y el producto vectorial.
PRODUCTO ESCALAR: es una operación donde al multiplicar dos vectores se obtiene un escalar.
Ejemplo:
1) Si A~
1 y A~
2 son vectores de R2
con componentes A~
1 = (−1, 2) y A~
2 = (2, −9),
entonces el producto escalar entre ellos es:
A~
1 · A~
2 = (−1)2 + 2(−9) = −20
PRODUCTO VECTORIAL: es una operación donde al multiplicar dos vectores se obtiene otro vector, con la característica de ser perpendicular a ambos. Este producto sólo está definido para vectores en un espacio de tres dimensiones.
LICEA TEMAXTE MIRIAM SARAY.
El producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
ResponderBorrarProducto de un escalar por un vector.
El producto de un escalar por un vector,es aquel en donde se multiplica un vector por un escalar (número y unidad de medida), en donde el resultado siempre te va a dar otro vector, con la misma dirección que el primer vector.
Ejemplo:
V= 70 N VECTOR
K=4 ESCALAR
K•V=2 (60 N)=140N
El nuevo vector se encuentra en la misma dirección, aunque en diferente magnitud.
El producto vectorial y el producto escalar son las dos formas de multiplicar vectores que se realizan en la mayoría de las aplicaciones de Física y Astronomía. La magnitud del producto vectorial de dos vectores es el resultado de multiplicar las magnitudes de cada vector y por el seno del ángulo que forman ambos vectores (< 180 grados) entre ellos.
Producto escalar.
Es una operación en donde se multiplican dos vectores por el coseno del angulo que forman y el resultado sera un escalar.
Ejemplo:
u=(3,0) v=(5,5) uv=45°
u·v=√3^2+0^2 · √5^2+5^2 · cos 45°
=3·5·√2·√2/2=2
Producto Vectorial.
Multiplicación cruzada de los vectores propuestos (se puede hacer en una tabla y visto previamente en algebra) y después se suman los vectores.
Ejemplo:
Vector A=(-4-15) Resultado producto cruzado
B=(-10-6) "
C=(25-4) "
Se realiza la suma respectiva
=(-4-15)+(-10-6)+(25-4)
=-19-16+21
=√(-19)^2+(-16)^2+(21)^2
=32.5
rivera uribe jorge de jesus
Producto de un escalar por un vector.
ResponderBorrarEs aquel en donde se multiplica un vector por un escalar (número y unidad de medida), en donde el resultado siempre te va a dar otro vector, con la misma dirección que el primer vector.
Ejemplo:
V= 60 N VECTOR
K=2 ESCALAR
K•V=2 (60 N)=120 N El nuevo vector se encuentra en la misma dirección, aunque en diferente magnitud.
Producto escalar.
Es una operación en donde se multiplican dos vectores por el coseno del angulo que forman y el resultado sera un escalar.
Ejemplo:
u=(3,0) v=(5,5) uv=45°
u·v=√3^2+0^2 · √5^2+5^2 · cos 45°
=3·5·√2·√2/2=2
Producto Vectorial.
Multiplicación cruzada de los vectores propuestos (se puede hacer en una tabla y visto previamente en algebra) y después se suman los vectores.
Ejemplo:
Vector A=(-4-15) Resultado producto cruzado
B=(-10-6) "
C=(25-4) "
Se realiza la suma respectiva
=(-4-15)+(-10-6)+(25-4)
=-19-16+21
=√(-19)^2+(-16)^2+(21)^2
=32.5
Basurto Guerrero Alexis 3IM17